A busca de quatro mil anos por π

Depois de escrever sobre o número e¹, resolvi encarar uma pesquisa ainda maior: a história de π. Se e ficou escondido por séculos sem que ninguém percebesse, π é o oposto exato — está exposto desde sempre, na cara de qualquer roda, qualquer poço circular, qualquer olaria. O desafio nunca foi descobrir π. Foi capturá-lo com precisão, e essa caçada levou quatro mil anos, atravessou toda civilização que já desenhou um círculo, e só terminou — no sentido de "terminou de ser um mistério em aberto", porque os dígitos em si nunca acabam — em 1882.

Me inspirei bastante no História da Matemática, do Howard Eves, que dedica um bocado de páginas só às aproximações históricas de π. Aqui vai a versão que eu quis contar.

Da Babilônia aos supercomputadores: como uma civilização atrás da outra tentou capturar a razão mais simples e mais impossível da geometria.

Prólogo: o problema mais fácil de formular e mais difícil de terminar

π é a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro. Qualquer civilização com rodas, potes ou celeiros circulares podia notar, empiricamente, que essa razão era sempre a mesma — perto de 3 e um pouquinho — não importa o tamanho do círculo. Não precisa de álgebra, nem de função, nem de processos infinitos pra desconfiar de π. Nesse sentido, é um problema muito mais democrático que e: várias civilizações, sem contato entre si, chegaram a aproximações parecidas, cada uma com suas próprias ferramentas.

O que muda de era pra era não é a pergunta — sempre foi a mesma — mas o método de aproximação. E é aí que a história vira uma corrida de revezamento de quatro mil anos: cada civilização pega o bastão de onde a anterior parou, refina a técnica, ganha algumas casas decimais, e passa adiante.

~2000–1650 a.C. — Babilônia e Egito

Uma tábua de argila babilônica (período Antigo-Babilônico, encontrada em Susa) compara o perímetro de um hexágono com a circunferência do círculo que o circunscreve. O valor implícito: π ≈ 3 + 1/8 = 3,125 — errando por menos de 0,5%.

No Egito, o Papiro de Rhind, copiado pelo escriba Ahmes por volta de 1650 a.C. a partir de um documento ainda mais antigo, resolve a área de um círculo de diâmetro 9 khet tratando-a como a área de um quadrado de lado 8/9 do diâmetro. Isso implica π ≈ (16/9)² = 256/81 ≈ 3,1605 — um erro de cerca de 0,6%.

~950 a.C. — a aproximação bíblica

Em 1 Reis 7:23 (e de novo em 2 Crônicas 4:2), a Bíblia descreve o "mar de fundição" do Templo de Salomão: uma bacia circular de dez côvados de diâmetro e trinta côvados de circunferência. Isso implica, literalmente, π = 3.

~250 a.C. — Arquimedes prova, não só mede

Arquimedes de Siracusa foi o primeiro a tratar π como um problema matemático rigoroso, não uma medição empírica. No tratado Medida do Círculo, ele inscreve e circunscreve polígonos regulares num círculo — começando por um hexágono e dobrando os lados sucessivamente: 12, 24, 48, 96 lados.

A lógica é elegante: o perímetro do polígono inscrito é sempre menor que a circunferência (porque é uma linha reta cortando caminho), e o do polígono circunscrito é sempre maior (porque envolve o círculo por fora). Conforme os polígonos ganham lados, os dois perímetros espremem a circunferência entre eles, cada vez mais apertado.

Com o polígono de 96 lados, Arquimedes provou que:

Essa foi a primeira vez na história que alguém não apenas estimou π, mas provou matematicamente limites confiáveis para ele — um salto de rigor que não seria superado em método, só em escala, pelos próximos 1800 anos.

263 e 480 d.C. — China: Liu Hui e Zu Chongzhi

Liu Hui, comentando o clássico Nove Capítulos sobre a Arte Matemática, redescobriu independentemente o método dos polígonos de Arquimedes — e foi além, chegando a um polígono de 3.072 lados para obter π ≈ 3,14159, e inventando um truque elegante para estimar o erro restante sem precisar dobrar os lados indefinidamente.

Mais ou menos dois séculos depois, o astrônomo e matemático Zu Chongzhi, junto com seu filho Zu Geng, empurrou o método ainda mais longe — a tradição chinesa fala num polígono de 24.576 lados — e provou que:

~500–1430 d.C. — Índia e a escola de Kerala

O astrônomo indiano Aryabhata (476–550), no seu tratado Aryabhatiya, dá π ≈ 3,1416 — e descreve o valor como āsanna, "aproximado". Alguns historiadores leem nessa palavra um indício de que Aryabhata já suspeitava que π não tinha um valor exato e finito — o que seria, se verdade, uma antecipação notável da irracionalidade de π, provada só séculos depois. É uma leitura debatida, mas sedutora.

E aqui reencontramos um personagem do texto sobre o número e: Madhava de Sangamagrama, da escola de Kerala, descobriu por volta de 1400 a série infinita

1424 — Al-Kashi, no observatório de Samarcanda

Trabalhando no observatório de Ulugh Beg, em Samarcanda, o matemático e astrônomo persa Jamshid al-Kashi usou um polígono de 3×2²⁸ lados — um número praticamente inimaginável de lados, calculado inteiramente à mão — para determinar π com 16 casas decimais corretas, no seu tratado Risala al-Muhitiyya ("Tratado sobre a circunferência"). Foi o valor mais preciso já calculado até então, e permaneceria recorde por quase 180 anos.

1596–1610 — Ludolph van Ceulen dá a vida pelo problema

O matemático holandês (de origem alemã) Ludolph van Ceulen passou boa parte da vida adulta refinando o método dos polígonos — chegando a usar um polígono de 2⁶² lados — pra calcular π com 35 casas decimais. O resultado foi publicado só depois de sua morte, em 1610.

1593–1706 — a virada analítica

Depois de dois mil anos de polígonos, a Europa do fim do século XVI muda de estratégia: em vez de aproximar geometricamente, passa a expressar π como um processo infinito exato — o mesmo tipo de virada conceitual que, décadas depois, faria e emergir dos logaritmos e das hipérboles.

Em 1655, John Wallis publicou seu próprio produto infinito, obtido por um método de interpolação que impressionou o jovem Isaac Newton:

E em 1673, James Gregory e Gottfried Leibniz — de forma independente um do outro, e sem saber de Madhava, na Índia, trezentos anos antes — redescobriram a mesma série que abre esta seção: π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ⋯. É bonita, mas converge devagar demais para ser útil no cálculo prático de muitos dígitos: são precisas milhares de termos só para acertar duas ou três casas decimais.

1706–1737 — o nome "π"

O símbolo π foi usado pela primeira vez, com esse sentido, pelo matemático galês William Jones, em 1706 — mas quase ninguém percebeu. Foi só quando Leonhard Euler — o mesmo Euler do texto sobre o número e — passou a adotar e popularizar a notação, a partir de 1737, que ela pegou de vez e se tornou universal.

1768 — Lambert prova que π é irracional

Por mais de quatro mil anos, toda essa história foi, no fundo, uma caçada por uma fração cada vez melhor: 22/7, 355/113, os polígonos de Al-Kashi e van Ceulen, as séries de Madhava e Machin. Ninguém tinha provado que essa caçada era, por definição, impossível de terminar — até o suíço-alemão Johann Heinrich Lambert aparecer com uma resposta definitiva, em 1768, numa memória apresentada à Academia de Berlim.

Lambert atacou o problema por um caminho inesperado: frações contínuas. Ele mostrou que a função tangente pode ser escrita como uma fração contínua infinita e, a partir disso, provou um teorema mais geral — para todo número racional não-nulo x, tan(x) é sempre irracional.

Foi um fecho silencioso, mas decisivo, para toda a corrida de aproximações que vínhamos acompanhando até aqui: a partir de 1768, ficou provado que a busca por uma fração exata para π sempre foi, e sempre seria, uma causa perdida — só restava buscar mais casas decimais, nunca a fração final.

1949–hoje — a era das máquinas

Em 1949, o ENIAC, um dos primeiros computadores eletrônicos do mundo, calculou 2.037 casas decimais de π em 70 horas — uma tarefa que, feita à mão pelo método de Machin, levaria uma vida inteira. Foi um dos primeiros cálculos "sérios" já realizados por um computador eletrônico.

Dali em diante, a corrida virou outra coisa: não mais sobre método matemático, mas sobre poder computacional e algoritmos cada vez mais eficientes — como o algoritmo dos irmãos Chudnovsky (1989), baseado em séries do tipo Ramanujan. Os recordes hoje passam da casa dos trilhões de dígitos — em 2019, Emma Haruka Iwao computou 31,4 trilhões de casas decimais na nuvem do Google, divulgado, apropriadamente, no Pi Day.

1882 — o fecho que π compartilha com e

Em 1882, Ferdinand von Lindemann provou que π é um número transcendente — não é raiz de nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros (um passo bem mais forte do que "irracional": todo transcendente é irracional, mas nem todo irracional é transcendente). Ele construiu a prova em cima do método que Charles Hermite tinha usado, em 1873, para provar a mesma coisa sobre o número e.

A ideia central é elegante, e amarra os dois textos por um fio só: Euler já tinha mostrado, décadas antes, que e^iπ = −1. Hermite provou que e elevado a qualquer número algébrico não-nulo é sempre transcendente. Lindemann completou o argumento: se π fosse algébrico, então iπ também seria (i é algébrico), e pelo teorema de Hermite, e^iπ teria que ser transcendente. Mas e^iπ = −1, que é racional — uma contradição. Logo, π não pode ser algébrico. E essa prova, como já contei no outro texto, finalmente resolveu — depois de mais de dois mil anos — um dos problemas mais antigos da geometria grega: é impossível quadrar o círculo com régua e compasso.

É um fecho bonito por si só, mas fica ainda mais bonito visto de longe: as duas constantes mais importantes da matemática, perseguidas por civilizações completamente diferentes ao longo de milênios inteiros, terminam suas próprias histórias juntas, na mesma década, pela mesma dupla de matemáticos.

O que essa busca de quatro mil anos ensina

Se o texto sobre e mostrava uma constante escondida, revelada de repente por três caminhos independentes que convergiam sem que ninguém percebesse, a história de π é o inverso: uma constante óbvia desde sempre, cuja dificuldade nunca foi encontrá-la, mas alcançá-la — casa decimal atrás de casa decimal, século atrás de século, civilização atrás de civilização, cada uma emprestando o método da anterior e emprestando o seu para a seguinte. Nenhuma dessas civilizações trabalhou sozinha, mesmo sem saber disso: Liu Hui não sabia de Arquimedes, Madhava não sabia que seria redescoberto por Leibniz, e ainda assim todos estavam, sem saber, na mesma corrida de revezamento.