Desde a faculdade de Física (2011–2015) tenho o pensamento de que a ciência deveria ser estudada inseparável da história — precisamos nos deparar com os problemas que os pensadores e cientistas da época enfrentavam, pensar como eles pensaram, para só assim, com um entendimento mais profundo, conseguirmos ir além. Do contrário, recebemos as teorias prontas, mastigadas como vêm nos livros-texto, e as coisas nunca fazem sentido de verdade — foi assim que senti toda a faculdade.
Hoje, mais de dez anos depois de formado, no meu tempo livre faço pesquisas que me fascinam sobre ciência e história, e consigo entender muito melhor — com um contexto bem mais amplo — coisas que vi na escola e na faculdade. Aqui compartilho uma pesquisa sobre o número de Euler: o que ele é, como os matemáticos esbarraram nele ao longo de mais de um século, e por que ele é tão importante.
Como uma constante fundamental da natureza ficou escondida por mais de cem anos antes de alguém perceber que ela existia.
Prólogo: por que os gregos nunca teriam chance
Antes de começar, vale entender por que essa história só podia acontecer na Europa do século XVII — e não mil anos antes, com Euclides ou Arquimedes.
A matemática grega era essencialmente geométrica e estática: proporções, áreas, volumes, tudo pensado como figuras fixas no espaço. Faltavam três ingredientes sem os quais e simplesmente não tem como aparecer:
- Álgebra simbólica — só nasce com Viète e Descartes, no fim do século XVI;
- O conceito de função, uma quantidade variando dinamicamente em relação a outra — invenção essencialmente moderna;
- Logaritmos — não existiam. E isso é crucial: e nasce dentro do estudo dos logaritmos, não antes deles.
Os gregos também tinham verdadeiro pavor do infinito — o paradoxo de Zenão é sintoma disso — e evitavam ativamente processos infinitos. e é uma constante que só emerge quando se lida com crescimento contínuo e processos iterativos infinitos. Não é como π, que você literalmente mede com uma corda ao redor de um círculo. É um número que só aparece quando alguém começa a fazer a pergunta certa — e essa pergunta exigiu uma revolução conceitual inteira.
Mas essa revolução conceitual foi só metade da história. A outra metade é: por que a Europa, e não as outras civilizações matemáticas do mundo, que em vários aspectos estavam à frente dela?
E na China?
A matemática chinesa tinha álgebra sofisticada (o método tian yuan, "elemento celeste"), o triângulo de Pascal séculos antes de Pascal, e o Teorema Chinês do Resto. Mas também tinha uma ferramenta de cálculo — as varetas de contar e, depois, o ábaco (suanpan) — tão rápida e eficiente que a pressão prática que gerou os logaritmos na Europa simplesmente não existia lá. Às vezes a ideia certa não aparece porque o problema que a geraria já foi resolvido de outro jeito.
E no mundo islâmico?
A matemática árabe e persa tinha quase tudo: álgebra (o próprio nome vem de Al-Khwarizmi), trigonometria esférica sofisticadíssima para astronomia e navegação, e o sistema decimal indiano, herdado havia séculos. Chegou impressionantemente perto de e. O que faltou foi a virada conceitual específica do século XVII europeu — tratar quantidades como variando continuamente no tempo, uma ideia que nasce da física do movimento de Galileu e Kepler. Essa matemática floresceu de quinhentos a mil anos antes de essa virada existir em qualquer lugar do mundo.
A escola de Kerala, Índia (séculos XIV–XVI)
Esse é o caso mais surpreendente de todos. Madhava de Sangamagrama e seus sucessores, na costa sudoeste da Índia, descobriram séries infinitas para seno, cosseno e arco-tangente — a mesmíssima série que o Ocidente atribui a Leibniz apareceu ali uns 300 anos antes. A ferramenta técnica exata que Euler usaria para definir e já tinha sido inventada, de forma independente, na Índia.
Só que foi aplicada à trigonometria e à astronomia, dentro de uma tradição regional transmitida em versos sânscritos, sem a rede de correspondência científica que a Europa tinha. Não se sabe ao certo se algum eco desse trabalho chegou à Europa (há especulação sobre missionários jesuítas na região, mas nada provado). É um exemplo perfeito de como uma descoberta pode não "pegar" por falta de ecossistema ao redor — não por falta de gênio.
1614 — John Napier, o "Feiticeiro de Merchiston"
O problema: multiplicação de números grandes. Parece banal hoje, mas no início do século XVII, astrônomos e navegadores precisavam multiplicar e dividir números com muitas casas decimais para calcular posições de estrelas e rotas marítimas — trabalho que consumia anos de calculistas profissionais. A Inglaterra elisabetana dependia disso para navegação transatlântica.
A ideia de Napier: transformar multiplicação em soma. Ele construiu isso com uma imagem puramente cinemática — duas partículas se movendo em linhas paralelas, uma a velocidade constante, outra desacelerando proporcionalmente à distância restante. A razão entre as distâncias virou seu "logaritmo".
O detalhe delicioso: e já estava ali, escondido, sem que ninguém soubesse. Os logaritmos de Napier eram construídos essencialmente na base 1/e, mas ele não pensava em termos de "base" de exponenciação — esse conceito nem existia ainda. Em 1618, um apêndice ao seu trabalho trouxe uma tabela de logaritmos naturais — mas ninguém reconheceu que aquilo era logaritmo na base e, porque a própria ideia de "base" ainda não tinha nascido.
E quem era esse homem? Napier — "Marvellous Merchiston" para seus contemporâneos — era o 8º Laird de Merchiston, um nobre escocês excêntrico até a medula. Vivia como um eremita em sua torre, estudando matemática à noite, e seus vizinhos e criados o consideravam abertamente um feiticeiro. Ele andava com uma aranha preta guardada numa caixa de marfim, e mantinha um galo preto que aterrorizava a criadagem — um "espírito familiar", diziam. A lenda mais deliciosa: quando suspeitava que um funcionário estava roubando, Napier reunia todos os suspeitos e mandava cada um, sozinho, acariciar o galo no escuro, dizendo que o animal cantaria se tocado pelo culpado. Na verdade ele cobria secretamente as penas do galo com fuligem — quem tinha as mãos limpas ao sair era o ladrão, porque só o culpado tinha medo de realmente tocar o bicho. Napier também dedicou boa parte da vida a interpretar o Livro do Apocalipse e calculou — errado, felizmente — que o fim do mundo aconteceria entre 1688 e 1700. Ele próprio considerava esse trabalho teológico, não os logaritmos, sua obra mais importante. Esse livro, A Plaine Discovery of the Whole Revelation of Saint John (1593), saiu cinco anos depois da tentativa da Armada Espanhola de invadir a Inglaterra protestante — pura paranoia religiosa e política, não curiosidade acadêmica de gabinete. Foi o trabalho mais lido de Napier em vida, com muito mais edições do que qualquer coisa que ele escreveu sobre matemática.
Kepler, extasiado
Johannes Kepler ficou fascinado assim que soube dos logaritmos de Napier — dedicou suas Ephemerides de 1620 a ele e passou a usar a nova ferramenta para calcular as Tábuas Rudolfinas, o mapa estelar mais preciso do seu tempo. Segundo o relato mais repetido sobre sua reação, os logaritmos teriam essencialmente dobrado a vida útil produtiva de um astrônomo, ao cortar anos inteiros de contas manuais.
Anos 1620 — Henry Briggs torna tudo prático
Briggs ficou tão empolgado ao ler o trabalho de Napier que viajou a cavalo até a Escócia só para conhecê-lo pessoalmente. Ele propôs reescalonar os logaritmos para uma base derivada de 10 — muito mais prática para cálculos manuais, já que nosso sistema numérico é decimal. Em 1624, Briggs chegou a calcular uma aproximação numérica do logaritmo de e na base 10 — mas nunca mencionou e como entidade própria. De novo: o número está ali, operacional, invisível.
1647 — Grégoire de Saint-Vincent e a curva teimosa
Esse encontro é, para mim, o mais bonito de todos, porque é puramente geométrico — e aparece sem qualquer relação com juros ou crescimento.
O contexto: desde a Antiguidade, e intensamente no século XVII, matemáticos tentavam calcular a área sob diversas curvas. Por volta de 1640 já se sabia calcular a área sob curvas do tipo yⁿ = axᵐ para praticamente qualquer expoente — exceto um caso obstinado: a hipérbole a/x. Essa curva simplesmente não se encaixava em nenhum método existente.
Saint-Vincent, um jesuíta flamengo, atacou justamente esse caso resistente. Ele descobriu que, se você divide o eixo x em segmentos em progressão geométrica, as áreas correspondentes sob a curva crescem em progressão aritmética — a assinatura exata de um logaritmo. E ainda assim, incrivelmente, ele não fez a conexão com logaritmos. Foi seu próprio aluno, Alphonse Antonio de Sarasa, quem amarrou essa ponte, em 1649.
Onde exatamente e mora aqui: Saint-Vincent mostrou que a área sob a hipérbole retangular xy=1, entre x=1 e x=e, vale exatamente 1 unidade. É uma definição geométrica de e, completamente independente de juros compostos — e ainda assim dá o mesmo número. Esse é um dos motivos pelos quais e é tão fundamental: ele nasce de caminhos matemáticos totalmente diferentes que convergem para o mesmo lugar.
1661 — Christiaan Huygens, dezessete casas decimais sem nome
Huygens — o mesmo que projetou o primeiro relógio de pêndulo preciso e descobriu os anéis de Saturno — já entendia por volta de 1661 a relação entre a hipérbole retangular e o logaritmo natural, algo que a comunidade matemática ainda mal compreendia. Ele foi além: definiu uma curva que chamou de "logarítmica" (o que hoje chamaríamos de curva exponencial) e calculou essa constante com dezessete casas decimais. Dezessete casas decimais de precisão, obtidas manualmente, para um número que ele nem sabia batizar.
1683 — Jacob Bernoulli e a espiral que ele levou para o túmulo
Esse é o problema clássico dos juros compostos: Bernoulli, estudando juros aplicados continuamente, provou que o limite de (1+1/n)ⁿ com n tendendo ao infinito precisava estar entre 2 e 3 — a primeira estimativa numérica rigorosa de e, mesmo sem conectá-lo ao número que já rondava as hipérboles havia décadas.
Bernoulli também é o protagonista de uma das histórias mais bonitas da matemática. Ele ficou obcecado pela espiral logarítmica — uma curva que, ao ser rotacionada, refletida ou escalada, sempre reaparece congruente a si mesma. Ele a chamava de spira mirabilis, "a espiral maravilhosa", e via nela uma metáfora para a ressurreição do corpo: mudado, mas essencialmente o mesmo. Pediu em testamento que essa espiral fosse gravada em seu túmulo, junto com a frase em latim Eadem mutata resurgo — "Ainda que mudado, ressurjo o mesmo". Quando morreu em 1705, o marmorista contratado — aparentemente sem entender a diferença entre uma espiral logarítmica (que cresce exponencialmente) e uma espiral de Arquimedes (que cresce a taxa constante) — gravou o tipo errado de espiral na lápide. O erro está lá até hoje, no claustro da Catedral de Basel, na Suíça: um dos matemáticos mais rigorosos da história, eternamente mal-representado por um engano de cinzel.
Vale um parênteses de contexto familiar: Jacob fazia parte de uma das famílias mais talentosas — e mais disfuncionalmente competitivas — da história da matemática. Seu irmão mais novo, Johann Bernoulli, também matemático brilhante, viveu décadas de rivalidade amarga com Jacob, disputando publicamente prioridade de descobertas (incluindo boa parte do cálculo variacional). Depois, Johann repetiu o padrão com seu próprio filho, Daniel Bernoulli — que se tornaria um dos fundadores da mecânica dos fluidos — a ponto de tentar impedir a publicação de trabalhos do filho e reivindicar descobertas dele como próprias. Uma dinastia de gênios, e também um estudo de caso e tanto sobre ego acadêmico.
Por que Basel?
Não é coincidência que tantos gênios da matemática dos séculos XVII e XVIII estivessem concentrados numa única cidade suíça de porte médio. Os Bernoulli eram, originalmente, comerciantes protestantes de Antuérpia que fugiram da perseguição religiosa espanhola aos Países Baixos no fim do século XVI — passaram por Frankfurt e se estabeleceram em Basel. A cidade, que já havia acolhido Erasmo de Roterdã décadas antes, virou um refúgio recorrente para intelectuais deslocados pela violência religiosa da Europa.
É por isso, e não por acaso, que Leonhard Euler — nascido em Basel, aluno particular de Johann Bernoulli — cresceu dentro dessa mesma rede. A dinastia de rivalidades geniais que gerou Jacob, Johann e Daniel Bernoulli existe porque uma família foi expulsa de casa cento e cinquenta anos antes.
Fim do século XVII — Leibniz, quase batizando
Leibniz — coinventor do cálculo, em disputa amarga e famosa de prioridade com Newton — trabalhou com essa constante em correspondências privadas, chamando-a de "b" em algumas cartas. Ele precisava dela para lidar com derivadas de exponenciais dentro do cálculo que estava desenvolvendo, mas nunca sistematizou ou publicou um tratamento definitivo. Mais um matemático de primeira grandeza esbarrando no número sem lhe dar identidade própria.
1727–1748 — Leonhard Euler amarra tudo
Euler tinha a ferramenta que faltava a todos os anteriores: o conceito maduro de função e domínio sistemático de séries infinitas. Foi ele quem:
- Reconheceu que os três fios — os logaritmos de Napier, a quadratura da hipérbole de Saint-Vincent, os juros contínuos de Bernoulli — eram manifestações da mesma constante;
- Deu o nome "e", em manuscritos por volta de 1727–1731, com primeira aparição impressa em 1736;
- Publicou em 1748, na obra Introductio in analysin infinitorum, a expansão em série que definia e com precisão inédita;
- Formalizou a propriedade que faz e ser a base universal de qualquer processo de crescimento proporcional a si mesmo;
- Chegou a uma identidade que uniria cinco das constantes mais importantes da matemática numa única equação — a que muitos consideram a mais bonita da matemática.
"Cavalheiros, isso é certamente verdade, é absolutamente paradoxal; não conseguimos entender, e não sabemos o que significa. Mas provamos, e portanto sabemos que deve ser a verdade." — atribuído a Benjamin Peirce, matemático de Harvard, numa aula sobre a identidade de Euler.
Sobre o mito do nome: a ideia de que "e" viria de "Euler" provavelmente é lenda — o mais aceito entre historiadores é que ele já usava "a" para outra variável em seus manuscritos, e "e" era simplesmente a próxima vogal disponível.
O homem por trás disso merece o parêntese: Euler foi, sem exagero, o matemático mais produtivo da história — sua obra reunida ocupa dezenas de volumes ainda sendo compilados séculos depois. Perdeu a visão de um olho ainda jovem, provavelmente por excesso de trabalho observando o sol em cálculos astronômicos, e ficou quase totalmente cego nas últimas duas décadas de vida. Isso não o desacelerou: ele continuou produzindo matemática de altíssimo nível ditando cálculos de cabeça para escribas, incluindo seu filho — tinha memória prodigiosa, capaz de reter tabelas inteiras de potências e recitar a Eneida de Virgílio do início ao fim. Trabalhou nas academias de ciências de São Petersburgo e Berlim, sob patrocínio de Catarina, a Grande, e Frederico, o Grande, e teve treze filhos, dos quais apenas cinco sobreviveram até a idade adulta — uma estatística brutal, mas infelizmente comum para a época. Era também um calvinista devoto — chegou a escrever um tratado, Rettung der Göttlichen Offenbarung (1747), defendendo a revelação cristã contra os deístas do Iluminismo, e liderava orações em família todas as noites. Uma figura que não cabe no estereótipo do racionalista frio.
1733–1882 — o que veio depois
Euler não fecha a história — só a organiza. Depois dele, e continuou aparecendo, e sendo decifrado, por mais de um século.
Abraham de Moivre, matemático huguenote que fugiu da França após a revogação do Edito de Nantes em 1685, se estabeleceu em Londres como refugiado religioso — o mesmo padrão de deslocamento que gerou os Bernoulli, décadas antes, em Basel. Amigo de Newton, nunca conseguiu uma cátedra em Oxford ou Cambridge por ser estrangeiro, e viveu dando consultoria matemática em casas de café até morrer relativamente pobre. Foi ele quem, estudando probabilidade, aproximou a distribuição binomial por uma curva contínua — a semente do que hoje chamamos de distribuição normal (ou "curva de Gauss", injustamente, já que de Moivre chegou lá quase um século antes) — e essa curva tem e embutido na sua fórmula.
A própria morte, calculada
Uma lenda, provavelmente exagerada mas repetida há séculos, conta que de Moivre percebeu estar dormindo quinze minutos a mais a cada noite e, extrapolando a progressão aritmética, previu a data exata da própria morte — e teria morrido naquele dia, em 1754.
E há um fio que fecha este ensaio exatamente onde ele começou. No prólogo, expliquei por que os gregos não tinham como chegar a e. Pois em 1873, Charles Hermite provou que e é um número transcendente — não é raiz de nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros. Em 1882, Ferdinand von Lindemann estendeu o método de Hermite para provar que π também é transcendente. E essa prova, mais de dois mil anos depois de Euclides, finalmente resolveu um dos problemas mais antigos da geometria grega: é impossível quadrar o círculo com régua e compasso.
O número que os gregos jamais poderiam ter descoberto acabou sendo, dois milênios depois, a chave que fechou um dos problemas que eles próprios haviam deixado em aberto.
Um número bem-comportado
e tem uma fração contínua estranhamente ordenada e previsível: [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] — um padrão claro se repetindo para sempre. π, por outro lado, não mostra nenhum padrão conhecido na sua fração contínua. Dois primos transcendentes, comportamentos completamente diferentes diante do olhar humano.
O padrão que devia soar como sirene, para um físico
Repare: o mesmo número emerge de três contextos completamente diferentes — cálculo numérico prático (Napier), geometria pura de uma curva teimosa (Saint-Vincent), finanças e juros (Bernoulli) — décadas antes de qualquer um perceber que eram a mesma coisa. Para quem pensa como físico, isso deveria soar como bandeira vermelha de que existe uma estrutura profunda por trás: todos os três problemas, no fundo, são sobre sistemas em que a taxa de mudança é proporcional à quantidade atual (d/dx = o próprio valor).
Essa é a assinatura universal de e — e é exatamente por isso que ele reaparece em decaimento radioativo, crescimento populacional, circuitos RC, e na distribuição normal. Não é coincidência matemática: é a mesma equação diferencial, vestida de roupas diferentes, esperando mais de cem anos para que alguém finalmente reconhecesse o rosto por trás da máscara.
Uma seleção das obras que sustentam este texto e de boas portas de entrada para quem quiser ir além. Onde há edição em português, ela está indicada. Conferi cada referência em catálogos de editoras, de bibliotecas e de periódicos; se encontrar algum erro, me avise.
Para começar
- Eli Maor, e: a história de um número, trad. Jorge Calife (Record, 2003). Original: e: The Story of a Number (Princeton University Press, 1994).
- William Dunham, Euler: The Master of Us All (Mathematical Association of America, 1999).
- Howard Eves, Introdução à história da matemática, trad. Hygino H. Domingues (Editora da Unicamp, 2004).
- Carl B. Boyer e Uta C. Merzbach, História da Matemática, trad. Helena Castro (Blucher, 2012).
- Victor J. Katz, A History of Mathematics: An Introduction (Addison-Wesley, 3ª ed., 2009).
- MacTutor History of Mathematics, da Universidade de St Andrews: a página The number e e as biografias de Napier, Briggs, Bernoulli e Euler.
Matemática fora da Europa
- Kim Plofker, Mathematics in India (Princeton University Press, 2009).
- George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Princeton University Press, 3ª ed., 2011).
Fontes históricas
- John Napier, Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Edimburgo, 1614). Tradução inglesa de Edward Wright: A Description of the Admirable Table of Logarithmes (Londres, 1616).
- Jacob Bernoulli, "Quaestiones nonnullae de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685", Acta Eruditorum (maio de 1690), p. 219–223, onde aparece o limite dos juros compostos.
- Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum (Lausanne, 1748), 2 vols. Tradução inglesa do vol. 1 por John D. Blanton: Introduction to Analysis of the Infinite (Springer, 1988).
- Charles Hermite, "Sur la fonction exponentielle", Comptes rendus de l'Académie des sciences 77 (1873), p. 18–24, 74–79, 226–233 e 285–293.
A frase de Benjamin Peirce
- R. C. Archibald, Benjamin Peirce, 1809–1880: Biographical Sketch and Bibliography (Mathematical Association of America, 1925), que traz o relato de W. E. Byerly, a fonte mais antiga que encontrei. A frase foi popularizada por Edward Kasner e James Newman em Mathematics and the Imagination (Simon & Schuster, 1940).
Publicado originalmente em lucasghisleni.com.